Nguyên hàm của (2x-1)*e^(1/x) là gì?

Đáp án:

$x^2e^{\tfrac1x} + C$

Giải thích các bước giải:

$I = \displaystyle\int(2x-1)e^{\tfrac1x}dx$

$=\displaystyle\int2x.e^{\tfrac1x}dx - \displaystyle\int e^{\tfrac1x}dx$

$= \displaystyle\int2x.e^{\tfrac1x}dx +\displaystyle\int\left(-e^{\tfrac1x}\right)dx$

Đặt $\begin{cases}u = x^2\\dv = -\dfrac{e^{\tfrac1x}}{x^2}\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}du = 2xdx\\v = e^{\tfrac1x}\end{cases}$

Ta được:

$I' = \displaystyle\int\left(-e^{\tfrac1x}\right)dx$

$= x^2e^{\tfrac1x} - \displaystyle\int2xe^{\tfrac1x}dx$

Do đó:

$I = \displaystyle\int2x.e^{\tfrac1x}dx + x^2e^{\tfrac1x} - \displaystyle\int2xe^{\tfrac1x}dx$

$= x^2e^{\tfrac1x} + C$