Cho điểm M thuộc đường tròn ( o;r), đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại A và B, cắt OM tại H a) CM H là trung điểm của AB và tam giác OAM đều b) Vẽ hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (o), chúng cắt nhau tại C. Chứng minh rằng o,m,c thẳng hàng. tính ac và ah theo r c) đường thẳng vuông góc với oa tại o cắt bc tại n. chứng minh rằng mn là tiếp tuyến của (o)

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Bán kính $OM$ vuông góc với dây $AB$ tại $H$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$

$A$ thuộc trung trực $OM$

$\Rightarrow OA=MA$

Mà $OA=OM=R$

$\Rightarrow OA=MA=OM=R$

$\Rightarrow \Delta OAM$ đều

$b) AC, BC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn

$\Rightarrow AC=BC$

$\Rightarrow C$ thuộc trung trực $AB (1)$

$OM \perp AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$

$\Rightarrow OM$ là trung trực $AB (2)$

$(1)(2) \Rightarrow O,M,C$ thẳng hàng

$\Delta OAM$ đều $\Rightarrow \widehat{O_1}=60^\circ$

$\Delta OAC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AC=OA \tan \widehat{O_1}=R\sqrt{3}$

$\Delta OAC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{AC^2}}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$c) AC, BC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn

$\Rightarrow OC$ là phân giác $\widehat{AOB}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{O_1}=60^\circ\\ \widehat{O_3}=\widehat{AOB}-\widehat{AON}=30^\circ \\ \widehat{O_2}=\widehat{AON}-\widehat{O_1}=30^\circ $

Xét $\Delta OBN$ và $\Delta OMN$

$ON:$ chung

$\widehat{O_3}=\widehat{O_2}=30^\circ \\ OB=OM=R\\ \Rightarrow \Delta OBN = \Delta OMN (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{OBN}=\widehat{OMN}\\ \Rightarrow \widehat{OMN}=90^\circ $

$\Rightarrow MN$ là tiếp tuyến của $(O).$