Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn( gọi tâm của nó là O) b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến đường tròn (O)

a) Gọi $O'$ là trung điểm $AH$

Xét $∆ADH$ vuông tại $D$ có:

$O'$ là trung điểm cạnh huyền $AH$

$\to O'A = O'H = O'D$

Xét $∆AEH$ vuông tại $E$ có:

$O'$ là trung điểm cạnh huyền $AH$

$\to O'A = O'H = O'E$

Do đó: $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $O'$

$\to O'\equiv O$

Vậy $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$

b) $∆ABC$ có:

$BD,CE$ là đường cao

$BD$ cắt $CE$ tại $H$

$\to H$ là trực tâm

$\to AH\perp BC$

Gọi $F$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

$\to AF\perp BC$

$\to ∆HCF$ vuông tại $F$

$\to \widehat{FHC}+\widehat{FCH}=90^o\quad (1)$

Xét $∆BEC$ vuông tại $E$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\to MB = ME= MC$

$\to ∆MED$ cân tại $M$

$\to \widehat{MEC}=\widehat{MCE}=\widehat{FCH}\quad (2)$

Ta có: $OE = OH$ (câu a)

$\to ∆OEH$ cân tại $O$

$\to \widehat{OHE}=\widehat{OEH}=\widehat{OEC}$

Ta lại có: $\widehat{OHE}=\widehat{FHC}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{OEC}=\widehat{FHC}\quad (3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{OEC}+\widehat{MEC}=90^o$

$\Rightarrow OE\perp ME$

mà $OE$ là bán kính của $(O)$

nên $ME$ là tiếp tuyến của $(O)$