Cho ΔABC có góc A = 70 độ . Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O . Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B cắt CO tại E . Tia phân giác ngoài tại đỉnh C cắt BO tại F a) Tính góc BOC b)CMR : góc BEC = góc BFC c)Tia EB và tia FC cắt nhau tại K . CMR góc BOC vad góc K là góc kề bù

a) Ta có:

$\widehat{ABO}=\widehat{CBO}=\dfrac12\widehat{ABC}\quad (gt)$

$\widehat{ACO}=\widehat{BCO}=\dfrac12\widehat{ACB}\quad (gt)$

Xét $∆BOC$ có:

$\widehat{BOC} + \widehat{CBO} +\widehat{BCO}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=180^o - (\widehat{CBO} +\widehat{BCK})$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=180^o - \dfrac12(\widehat{ABC} + \widehat{ACB})$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=180^o -\dfrac12(180^o - \widehat{BAC})$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=180^o -\dfrac12(180^o - 70^o)= 125^o$

b) Ta có:

$BE$ là phân giác ngoài của góc $B$

$\Rightarrow BE\perp BO$

$\Rightarrow ∆BEO$ vuông tại $B$

$\Rightarrow \widehat{BEO}+\widehat{BOE}=90^o$

Tương tự: $∆CFO$ vuông tại $C$

$\Rightarrow \widehat{CFO}+\widehat{COF}=90^o$

mà $\widehat{BOE}=\widehat{COF}\quad$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{BEO}=\widehat{CFO}$

hay $\widehat{BEC}=\widehat{CFB}$

c) Xét $∆BFK$ vuông tại $B$ có:

$\widehat{BFK} +\widehat{BKF}=90^o$

Ta lại có:

$\widehat{BFK} = \widehat{CFB}=\widehat{BEC}=\widehat{BEO}$ (câu b)

nên $\widehat{BKF}+\widehat{BEO}=90^o$

Mặt khác:

$\widehat{BOE} +\widehat{BEO}=90^o$ ($∆BEO$ vuông tại $B$)

Do đó

$\widehat{BOE}=\widehat{BKF}=\widehat{K}$

mà $\widehat{BOE}+\widehat{BOC}=180^o\quad$ (hai góc kề bù)

nên $\widehat{K} +\widehat{BOC}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{BOC}$ và $\widehat{K}$ là hai góc bù nhau