cho a/b+c +b/c+a +c/a+b =1 Chứng minh a^2/(b + c) + b^2/(c+a) + c^2/(a + b) = 0

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} = 1 (*)$

Nếu $a = 0 ⇒ (*) ⇔ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} = 1 ⇔ b² + c² = bc$

$ ⇔ (b² - bc + \dfrac{c²}{4}) + \dfrac{3c²}{4} = 0 ⇔ (b - \dfrac{c}{2})² + \dfrac{3c²}{4} = 0$ 

$ ⇔ b = c = 0 $ ( vô lý ) $ ⇒ a \neq 0.$

Tương tự $ b,c \neq 0.$

$ (*) ⇔ \dfrac{a²}{b + c} + \dfrac{ab}{c + a} + \dfrac{ca}{a + b} = a (1)$

$ (*) ⇔ \dfrac{ab}{b + c} + \dfrac{b²}{c + a} + \dfrac{bc}{a + b} = b (2)$

$ (*) ⇔ \dfrac{ca}{b + c} + \dfrac{bc}{c + a} + \dfrac{c²}{a + b} = c (3)$

$(1) + (2) + (3):$

$ \dfrac{a²}{b + c} + \dfrac{b²}{c + a} + \dfrac{c²}{a + b} $

$ + \dfrac{ab + bc}{c + a} + \dfrac{bc + ca}{a + b} + \dfrac{ca + ab}{b + c} = a + b + c$

$ ⇔ \dfrac{a²}{b + c} + \dfrac{b²}{c + a} + \dfrac{c²}{a + b} $

$ + a + b + c  = a + b + c$

$ ⇔ \dfrac{a²}{b + c} + \dfrac{b²}{c + a} + \dfrac{c²}{a + b} = 0 (đpcm)$