Cho a,b>0, 2a+3b=10. Tìm GTNN của P=3a^2+5b^2

Đáp án:

$\min P = \dfrac{1500}{47} \Leftrightarrow (a;b) = \left(\dfrac{100}{47};\dfrac{90}{47}\right)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}\quad P = 3a^2 +5b^2\\ \to P = \dfrac{4a^2}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{9b^2}{\dfrac{9}{5}}\\ \text{Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:}\\ P \geq \dfrac{(2a + 3b)^2}{\dfrac{4}{3} + \dfrac{9}{5}}=\dfrac{10^2}{\dfrac{47}{15}}=\dfrac{1500}{47}\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{2a}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3b}{\dfrac95}\\2a + 3b = 10\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 9a = 10b\\2a + 3b = 10\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = \dfrac{100}{47}\\b = \dfrac{90}{47} \end{cases}\\ Vậy\,\,\min P = \dfrac{1500}{47} \Leftrightarrow (a;b) = \left(\dfrac{100}{47};\dfrac{90}{47}\right)\end{array}$