Cho a,b>0, 3a+b=7 Tìm GTnn của P=a^2+5b^2

Đáp án:

$\min P = \dfrac{245}{46}\Leftrightarrow (a;b) = \left(\dfrac{105}{46};\dfrac{7}{46}\right)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}P = a^2 + 5b^2\\ \to P =\dfrac{9a^2}{9} + \dfrac{b^2}{\dfrac{1}{5}}\\ \text{Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:}\\ P \geq \dfrac{(3a + b)^2}{9 + \dfrac{1}{5}} = \dfrac{7^2}{\dfrac{46}{5}} = \dfrac{245}{46}\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{3a}{9} = \dfrac{b}{\dfrac{1}{5}}\\3a + b= 7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = \dfrac{105}{46}\\b = \dfrac{7}{46}\end{cases}\\ Vậy\,\,\min P = \dfrac{245}{46}\Leftrightarrow (a;b) = \left(\dfrac{105}{46};\dfrac{7}{46}\right)\end{array}$