Xét tính bị chặn của dãy số

$u_n=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$=\dfrac{1}{2}\Big(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\Big)$

$=\dfrac{1}{2}\Big(1-\dfrac{1}{2n+1}\Big)$

$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2n}{2n+1}$

Dễ thấy $2n>0; 2n+1>0; \dfrac{1}{2}>0$

$\Rightarrow (u_n)>0$

$\Rightarrow (u_n)$ bị chặn dưới.

$u_n=\dfrac{n}{2n+1}$

Dễ thấy $n<2n+1 \Leftrightarrow u_n<1$

$\Rightarrow (u_n)$ bị chặn trên.

Vậy $(u_n)$ là dãy bị chặn.