Cho tam giác ABC vuông cân tại A. BC = 36cm. Vẽ hình chữ nhật MNPQ có M thuộc AB; Q thuộc AC; P,N thuộc BC . Xác định vị trí của MN để diện tích MNPQ lớn nhất.giúp em với ạ,em nghĩ mãi không ra

Đáp án: GTLN $S_{MNPQ}=162$ khi $M$ là trung điểm cạnh $AB$

Giải thích các bước giải:

Ta có :$BC=36\rightarrow AB=18\sqrt{2}$

Vì $MNPQ$ là hình chữ nhật

$\rightarrow AMQ, QCP, MNB$ là các tam giác vuông cân

$\begin{split}\rightarrow S_{MNPQ}&=S_{ABC}-S_{MNB}-S_{CPQ}\\&=S_{ABC}-S_{AMQ}-2S_{MNB}\\&=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}AM^2-MN^2\\&=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}AM^2-\dfrac{1}{2}MB^2\\&=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}.(AM^2+BM^2)\\&\le \dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{4}.(AM+MB)^2\\&=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{4}.AB^2\\&=\dfrac{1}{4}AB^2=162\end{split}$

Dấu = xảy ra khi $AM=MB\rightarrow M$ là trung điểm AB