tìm GTNN của (x-3)^4 + (x+7)^4 + 7

Đáp án:

\({A_{\min }} = 1257 \Leftrightarrow x =  - 2\).

Giải thích các bước giải:

\[\begin{array}{l}A = {\left( {x - 3} \right)^4} + {\left( {x + 7} \right)^4} + 7\\A = {\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right]^2} + 7\end{array}\]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\) ta có:

\({\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right]^2} \ge \dfrac{{{{\left( {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right)}^2}}}{2}\) (1)

Tiếp tục áp dụng  Bunhiacopxki \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\) ta có:

\({\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {x + 7} \right)^2} \ge \dfrac{{{{\left( {3 - x + x + 7} \right)}^2}}}{2} = 50\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\({\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right]^2} \ge \dfrac{{{{\left( {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right)}^2}}}{2} \ge \dfrac{{{{50}^2}}}{2} = 1250\)

\( \Rightarrow A \ge 1250 + 7 = 1257\)

\( \Rightarrow {A_{\min }} = 1257\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = x + 7\\{\left( {3 - x} \right)^2} = {\left( {x + 7} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 2\).

Vậy \({A_{\min }} = 1257 \Leftrightarrow x =  - 2\).