Cho đường tròn (O;R) , đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OA , qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại hai điểm C và D a) Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi b) Qua điểm D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia OA tại M . Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tam giác MCD đều c) Gọi N là trung điểm của HB , đường thẳng kẻ qua H vuông góc với CN cắt đường thẳng CA tại E . Chứng minh A là trung điểm của CE

Giải thích các bước giải:

a.Do $OA\perp CD, OA\cap CD=H\rightarrow \text{H là trung điểm CD}$

Lại có:

$\begin{cases}CD\perp AO\\CD\cap OA=H\text{ là trung điểm mỗi đường}\end{cases}$

$\rightarrow \Diamond ACOD\text{ là hình thoi}$

b.Theo câu a

$\rightarrow C,D$ đối xứng nhau qua OA

$\rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{MDO}=90^o\rightarrow MC\perp OC$

$\rightarrow \text{MC là tiếp tuyến của (O)}$

Ta có:

$OH=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}OD$

$\rightarrow \widehat{DOA}=60^o$

$\rightarrow \widehat{MDC}=\widehat{DOA}=60^o$

Mà $MC=MD$ (do MD,MC là tiếp tuyến với (O))

$\rightarrow \Delta MCD$ đều

c.$AH=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{R}{2}\rightarrow HB=\dfrac{3R}{2}\rightarrow HN=\dfrac{3R}{4}$

$\rightarrow ON=OB-NB=\dfrac{1}{4}R$

$\rightarrow NM=OM+ON=2R+\dfrac{1}{4}R=\dfrac{9R}{4}$

Vì $CH\perp HN, HG\perp CN\rightarrow HN^2=NG.GC=\dfrac{9R^2}{16}=NO.NM$

$\rightarrow\Diamond MCGO$ nội tiếp

mà $\Diamond MCOD$ nội tiếp

$\rightarrow M,C,G,O,D$ cùng thuộc một đường tròn $(A, R)$

Mà $\widehat{CGE}=90^o\rightarrow CE$ là đường kính của đường tròn trên

$\rightarrow A$ là trung điểm CE