CMR: $B=n(n+2)(25n^{2}-1)$ chia hết cho 24 với n ∈ N

Giải thích các bước giải:

Ta có

$B = n(n+2)(25n^2 - 1)$

$= n(n+2)(25n^2 - 25 + 24)$

$= n(n+2)(25n^2 - 25) + 24n(n+2)$

$= 25n(n+2)(n^2-1) + 24n(n+2)$

$= 25(n-1)n(n+1)(n+2) + 24n(n+2)$

$= (n-1)n(n+1)(n+2) + 24[(n-1)n(n+1)(n+2) + n(n+2)]$

Ta thấy rằng $24[(n-1)n(n+1)(n+2) + n(n+2)]$ chia hết cho $24$ với mọi số tự nhiên $n$. Vậy để chứng minh $B$ chia hết cho $24$ ta cần chứng minh $(n-1)n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 24.

Để ý rằng $(n-1)n(n+1)(n+2)$ là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp, từ đó suy ra chắc chắn một trong bốn số đó phải có một số chia hết cho 4, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2.

Vậy $(n-1)n(n+1)(n+2)$ chia hết cho $2.3.4 = 24$

Vậy ta có đpcm.