Tìm nghiệm nguyên của 2x ²+4x=19-3y ²

Đáp án:

$(x,y) \in \{(-4, -1), (-4, 1), (2, -1), (-2, 1) \}$.

Giải thích các bước giải:

 Ta có

$2x^2 + 4x = 19 - 3y^2$

$\Leftrightarrow 2x^2 + 4x + 2 = 2 + 19 - 3y^2$

$\Leftrightarrow 2(x^2 + 2x + 1) = 21 - 3y^2$

$\Leftrightarrow 2(x+1)^2 = 3(7-y^2)$

Ta thấy $2(x+1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, suy ra

$3(7-y^2) \geq  0$

$\Leftrightarrow y^2 \leq 7$

$\Leftrightarrow -\sqrt{7} \leq y \leq \sqrt{7}$

Lại có $y \in \mathbb{Z}$ nên ta có $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

Lại để ý rằng vế trái là số chẵn, suy ra vế phải cũng là số chẵn. Vậy $7-y^2$ phải là số chẵn, suy ra $y$ phải là số lẻ. Vậy $y \in \{-1, 1\}$.

Với $y = \pm 1$ ta có

$2(x+1)^2 = 3.(7-1)$

$\Leftrightarrow (x+1)^2 = 9$

$\Leftrightarrow x + 1 = \pm 3$

$\Leftrightarrow x = -4$ hoặc $x = 2$

Vậy $(x,y) \in \{(-4, -1), (-4, 1), (2, -1), (-2, 1) \}$.