cho đường thẳng có phương trình y=(m-1)x+2m (m≠1) tìm m để đường thẳng cắt 2 trục tọa độ và tạo với hai trục 1 tam giác có diện tích =1

Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}m= -1\\m = \dfrac12\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$(d): y = (m-1)x + 2m \qquad (m \ne 1)$

+) $(d)$ cắt $Ox \to y = 0$

$\to (m-1)x + 2m = 0$

$\to x = \dfrac{2m}{1 - m}$

$\to (d)$ cắt $Ox$ tại $A\left(\dfrac{2m}{1-m};0\right)$

$\to OA = \sqrt{\left(\dfrac{2m}{1- m} - 0\right)^2} = \left|\dfrac{2m}{1-m}\right|$

+) $(d)$ cắt $Oy \to x = 0$

$\to (m-1).0 + 2m = y$

$\to y = 2m$

$\to (d)$ cắt $Oy$ tại $B(0;2m)$

$\to OB = \sqrt{(2m)^2} = 2|m|$

Ta có:

$S_{OAB} = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac12OA.OB = 1$

$\Leftrightarrow \left|\dfrac{2m}{1-m}\right|\cdot 2|m| = 2$

$\Leftrightarrow \left|\dfrac{2m^2}{1- m}\right| = 1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\dfrac{2m^2}{1- m} = 1\\\dfrac{2m^2}{1- m} = -1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2m^2 + m - 1 =0\\2m^2 - m + 1 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m= -1\\m = \dfrac12\end{array}\right.$