giải pt: 8cos ³(x+pi/3)=cos3x

Đáp án:

$x=\dfrac{\pi}6+k\pi$

$ x=k2\pi$ và $x=-\dfrac{2\pi}3+k2\pi$

$ x=\dfrac{\pi}3+k2\pi$ và $x=-\pi+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

Lời giải:

Áp dụng $4\cos^3x = 3\cos x + \cos3x$
$\Rightarrow 8\cos^3\left({x +\dfrac π3}\right) = 6\cos\left({x +\dfrac π3}\right) + 2\cos(3x + π)$
Thay vào ta được
$\Leftrightarrow 6\cos\left({x + \dfrac π3}\right) - 2\cos3x = \cos3x$
$\Leftrightarrow 6\cos\left({x +\dfrac π3}\right) = 3\cos3x$
$\Leftrightarrow 2\cos\left({x + \dfrac π3}\right) = \cos3x$
Đặt $x +\dfrac π3 = t\Rightarrow 3x + π = 3t \Rightarrow 3x = 3t - π$
Ta được $2\cos t = \cos(3t - π)$
$\Leftrightarrow 2\cos t = -\cos3t$
$\Leftrightarrow 2\cos t + \cos3t = 0$
$\Leftrightarrow 4\cos^3t - \cos t = 0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}\cos t=0\text{ (1)}\\\cos t=\dfrac12\text{ (2)}\\\cos t=-\dfrac12\text{ (3)}\end{array}\right.$

(1) $\Leftrightarrow t=\dfrac{\pi}2+k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

$\Rightarrow x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+k\pi$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}6+k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

(2) $\Leftrightarrow t=\pm\dfrac{\pi}3+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

$\Rightarrow x+\dfrac{\pi}3=\pm\dfrac{\pi}3+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=k2\pi$ hoặc $x=-\dfrac{2\pi}3+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

(3) $\Leftrightarrow t=\pm\dfrac{2\pi}3+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

$\Rightarrow x+\dfrac{\pi}3=\pm\dfrac{2\pi}3+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}3+k2\pi$ hoặc $x=-\pi+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}6+k\pi$

$ x=k2\pi$ và $x=-\dfrac{2\pi}3+k2\pi$

$ x=\dfrac{\pi}3+k2\pi$ và $x=-\pi+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$.