a) Cho P=1 `-` `\frac{4}{5}` `+` ( `\frac{4}{5}`)^2 - (4/5)^3 + (4/5)^4 - ....- (4/5)^2009 + (4/5)^2010 Chứng tỏ P không phải là số nguyên b) Cho a,b,c khác 0, a+b+c $\neq$ 0 thỏa mãn `\frac{b+c-a}{a}` = `\frac{c+a-b}{b}` = `\frac{a+b-c}{c}` Tính giá trị của biểu thức A = (1 + `\frac{a}{b}` )(1 + `\frac{b}{c}` ) (1 + `\frac{c}{a}` + 2011

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta có $: \dfrac{4}{5} < 1 ⇒ (\dfrac{4}{5})^{2010} < 1^{2010} = 1$

$ ⇒ (\dfrac{4}{5})^{2011} < 1.\dfrac{4}{5} =  \dfrac{4}{5} (*)$

$ P = 1 - \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})² - (\dfrac{4}{5})³ + (\dfrac{4}{5})^{4}-...- (\dfrac{4}{5})^{2009} + (\dfrac{4}{5})^{2010} (1)$

$ ⇒ \dfrac{4}{5}P = \dfrac{4}{5} - (\dfrac{4}{5})² + (\dfrac{4}{5})³ - (\dfrac{4}{5})^{4}-...- (\dfrac{4}{5})^{2010} + (\dfrac{4}{5})^{2011} (2)$

$(1) + (2) :  P + \dfrac{4}{5}P = 1 + (\dfrac{4}{5})^{2011}$

$ ⇒ 1 < \dfrac{9}{5}P < 1 + \dfrac{4}{5} $(theo $(*)$)

$ ⇔ \dfrac{5}{9} < P < 1 ⇒ P$ không nguyên

b)Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau:

$ \dfrac{b + c - a}{a} = \dfrac{c + a - b}{b} = \dfrac{a + b - c}{c} $

$ = \dfrac{(b + c - a) + (c + a - b) +(a + b - c)}{a + b + c} $

$ = \dfrac{a + b + c}{a + b + c} = 1$ (vì $a + b + c # 0)$

$ ⇒ b + c - a = a ⇒ b + c = 2a (1)$

$  c + a - b = b ⇒ c + a = 2b (2)$

$ a + b - c = c ⇒ a + b = 2c (3)$

$ (1) - (2) : b - a = 2(a - b) ⇔ a = b$

$ (2) - (3) : c - b = 2(b - c) ⇔ b = c$

$ ⇒ a = b = c$

$ ⇒ A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) + 2011 = 2019$