Cho tam giác ABC vuông cân tại A, I thuộc BC. Kẻ IE vuông góc với AB, IF vuông góc với AC. Cmr I di chuyển trên BC thì đường thẳng đi qua I và vuông góc với EF luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải thích các bước giải:

Lấy $M$ là trung điểm $BC$

Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $DM=MA\to D$ cố định

$\to M$ là trung điểm $AD$

Gọi $AI\cap EF=H$

Ta có $IE\perp AB,IF\perp AC,AB\perp AC\to AEIF$ là hình chữ nhật

$\to AI\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

$\to H$ là trung điểm $AI$

Mà $M$ là trung điểm $AD\to HM$ là đường trung bình $\Delta AID$

$\to HM//DI$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A,M$ là trung điểm $BC$

$\to MA=MB, \widehat{MAF}=\widehat{MBE}(=45^o)$

Mà $AB=AC, IE=AF$

      $\Delta EBI$ vuông tại $E,\widehat{EBI}=45^o\to\Delta EBI$ vuông cân tại $E\to EI=EB$

$\to BE=EI=AF$

$\to\Delta AMF=\Delta BME(c.g.c)$

$\to ME=MF,\widehat{BME}=\widehat{AMF}$

$\to\widehat{EMF}=\widehat{EMA}+\widehat{AMF}=\widehat{EMA}+\widehat{EMB}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to\Delta MEF$ vuong cân tại $M$

Mà $H$ là trung điểm $EF\to HM\perp EF$

$\to DI\perp EF$ vì $HM//DI$

$\to $ đường thẳng đi qua $I$ vuông góc $EF$ luôn đi qua $D$ cố định