Cho hình chữ nhật ABCD và E là điểm nằm trên đường chéo AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm F sao cho EF = BE, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F trên hai đường thẳng AD và DC. Chứng minh rằng: a, DF // AC và MN // BD b, 3 điểm A, M, N thẳng hàng

a) Gọi $AC \cap BD = \left\{O\right\}$

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD$

Xét $ΔBDF$ có:

$OB = OD \quad (cmt)$

$BE = EF \quad (gt)$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình

$\Rightarrow OE//DF$

hay $AC//DF$

Dễ dàng chứng minh được $DMFN$ là hình chữ nhật $(\widehat{D} = \widehat{M} = \widehat{N} =90^o)$

Gọi $AF\cap MN = \left\{I\right\}$

$\Rightarrow ID = IM = IF = IN$

Ta được:

$ΔIDM$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{DIM} = 180^o - 2\widehat{IDM}$

Ta lại có:

$ΔOAD$ cân tại $O\quad (OA = OD)$

$\Rightarrow \widehat{AOD} = 180^o - 2\widehat{OAD}$

mà $\widehat{OAD} = \widehat{IDM}$ (đồng vị do $AC//DF$)

nên $\widehat{DIM} = \widehat{AOD}$

Mặt khác:

$\widehat{AOD} = \widehat{ODF} = \widehat{ODI}$ (so le trong)

Do đó $\widehat{DIM} = \widehat{ODI}$

$\Rightarrow OD//IM$

$\Rightarrow MN//BD$

b) Xét $ΔBDF$ có:

$BE = EF \quad (gt)$

$ID = IF \quad (cmt)$

$\Rightarrow IE$ là đường trung bình

$\Rightarrow IE//BD$

Ta lại có: $I\in MN$

$MN//BD\quad (cmt)$

$\Rightarrow E,M,N$ thẳng hàng