Giải phương trình `9+3\sqrt{x(3-2x)} = 7\sqrt{x}+5\sqrt{3-2x}`

Đáp án: $x = 1; x = \dfrac{1}{9}$

Giải thích các bước giải: Tham khảo thêm

ĐKXĐ $: 0 ≤ x ≤ \dfrac{3}{2}$

Đặt $ u = \sqrt{x} ≥ 0; v = \sqrt{3 - 2x} $

$ ⇒ 2u² + v² = 3 (1)$

$ PT ⇔ 9 + 3uv = 7u + 5v ⇔ (3u - 5)v = 7u - 9$

$ ⇒ v = \dfrac{7u - 9}{3u - 5} ⇒ v² = \dfrac{49u² - 126u + 81}{9u² - 30u + 25}$

Thay vào $(1) :$

$ 2u² + \dfrac{49u² - 126u + 81}{9u² - 30u + 25} = 3$

$ ⇔ 18u^{4} - 60u³ + 72u² - 36u + 6 = 0$

$ ⇔ 3u^{4} - 10u³ + 12u² - 6u + 1 = 0$

$ ⇔ (u - 1)³(3u - 1) = 0$

@ $ u - 1 = 0 ⇔ u = 1 ⇔ \sqrt{x} = 1 ⇔ x = 1 (TM)$

@ $ 3u - 1 = 0 ⇔ u = \dfrac{1}{3} ⇔ \sqrt{x} = \dfrac{1}{3} ⇔ x = \dfrac{1}{9} (TM)$