Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(1;3); B(-5;6); C(0;1) a) Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành c) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ A đến BC. Tính diện tích tam giác ABC

a,

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = ( - 6;3) \to AB = 3\sqrt 5 \\
\overrightarrow {AC}  = ( - 1; - 2) \to AC = \sqrt 5 \\
\overrightarrow {BC}  = (5; - 5) \to BC = 5\sqrt 2 
\end{array}\)

Có: \(BC + CA = 5\sqrt 2  + \sqrt 5  > AB = 3\sqrt 5 \)

⇒ 3 điểm A, B, C tạo thành Δ

$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}3=\dfrac{1+(-5)+0}{3}$

$y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}3$

⇒ \(G(\dfrac{{ - 4}}{3};\dfrac{{10}}{3})\)

b. Giả sử `D(x;y)`

ABCD là hình bình hành

⇒\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

Có: \(\overrightarrow {DC}  = ( - x;1 - y)\)

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 6;3)\)

\( \begin{cases}x = 6\\1 - y = 3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 6\\y =  - 2\end{cases}\)

`⇒D(6;-2)`

c. Giả sử: `H(a;b)`

Có: \(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AH}  = (a - 1;b - 3)\\
\overrightarrow {BC}  = (5; - 5)
\end{array}\)

$H$ là chân đường cao kẻ từ `A` đến `BC`

nên $AH\bot BC$

`⇒5.(a-1)-5.(b-3)=0⇒a-b=-2` (1)

Phương trình đường thẳng BC qua `C(0;1)` và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (5;5)\)

`5x+5(y-1)=0⇒x+y=1`

Do `H∈BC ⇒a+b=1` (2)

Từ (1) và (2) ⇒\(H(\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2})\)

Diện tích `ΔABC = 15/2` (Theo công thức Herong $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(b-c)}$ trong đó $p$ là chu vi của tam giác, $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác)