cho tam giác ABC vuông cân tại C, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=5cm. Gọi I là trung điểm của OC, đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Qua A vé tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Đường thẳng qua O vuông góc với AI cắt Ax tại K. a) Chứng minh rằng KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Chứng minh rằng DA=2DB c) Tính độ dài đường cao vẽ từ D của tam giác DAB

a) $\Delta$ $OAD$ cân đỉnh $O$ vì có $OA=OD$(1)

Có $OK$ là đường cao nên cũng là đường phân giác

$\Rightarrow \widehat{AOK}=\widehat{DOK}$ (2)

Có $OK$ chung (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta AOK=\Delta DOK$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{KDO}= \widehat{KAO}=90^o$ (do $AK$ là tiếp tuyến $(O)$)

$\Rightarrow KD\bot OD$ và $D\in(O)$ nên $KD$ là tiếp tuyến $(O)$

b) Gọi $G=OK\cap AD$

Xét $\Delta$ vuông $ AKG$ và $\Delta$ vuông $ BAD$ có:

$\widehat{AKG}=\widehat{BAD}$ (cùng phụ $\widehat{DAB}$)

$AK=AB$ (do $\Delta ABK$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}=45^o$ nên $\Delta ABK$ cân đỉnh $A$)

$\Rightarrow \Delta AKG=\Delta BAD$ (cạnh huyền- góc nhọn)

$\Rightarrow AG=BD$ mà $AG=\dfrac{AD}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{2}=BD\Rightarrow AD=2BD$ (đpcm)

c) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABD$ ta có:

$AD^2+BD^2=AB^2$

$\Rightarrow (2DB)^2+BD^2=5^2$

$\Rightarrow DB=\sqrt5$

Dựng $DE\bot AB$ khi đó độ dài đường cao vẽ từ D của $\Delta ABD$ là DE

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABD$ ta có:

$\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{DB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{(\sqrt5^2}+\dfrac{1}{(2\sqrt5)^2}=\dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow DE=2$