Chứng minh rằng nếu x3 + y3 + z3 = 3xyz thì x + y + z = 0 hoặc x = y = z

Ta có$: x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$

$⇒x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$

$⇒ (x^3 + y^3) + z^3 - 3xyz = 0$

$⇒(x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz = 0$

$⇒[(x + y)^3 + z^3 ]- [3xy(x + y) + 3xyz] = 0$

$⇒ (x + y + z)[(x+y)^2 - (x+y)z + z^2 ] - 3xy(x+y+z) = 0$

$⇒ (x + y +z)(x^2 + y^2 +z^2 - xy - yz - zx) = 0$

$⇒\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{matrix}\right.$

Xét  $ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0, $nhân 2 vào 2 vế ta có:

$2x^2 + 2y^2 +2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$

$⇒ (x^2 -2xy+ y^2 )+(y^2 - 2yz + z^2) +(z^2 - 2zx + x^2) = 0$

$⇒ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0$

$Vì (x - y)²\geq 0$ với mọi $x, y$

$(y-z)^{2}$ $\geq0$ với mội $y,z$

$(z-x)^{2}$\(\ge\)$ 0$ với mọi $z,x$

Vậy để  $ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z$