Chứng minh rằng hàm số y =|x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số y =|x| có đạt cực trị tại điểm x = 0 hay không ?

Đáp án:

Hàm số $y =|x|$ có đạt cực trị tại điểm $x = 0$ và $x=0$ là điểm cực tiểu.

Lời giải:

$\begin{array}{l} y = \left| x \right|\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\ \Rightarrow \text{ hàm số }y = \left| x \right|\text{ không có đạo hàm tại }x = 0.\\ \text{Mà }y = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\text{ khi }x \ge 0\\ - x\text{ khi }x < 0 \end{array} \right.\\ \text{Bảng biến thiên:}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \infty \\ y = \left| x \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \infty \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ \Rightarrow x = 0\text{ là điểm cực tiểu của hàm số }y = \left| x \right|. \end{array}$.