cho hình vuông ABCD . Gọi E là điểm đói xứng với A qua D . a) Chứng minh tam giác ACE vuông cân b) Từ A hạ AH vuông góc vứoi BE , Gợi M , N lần lượt là trung điểm của AH , HE . Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành c) chứng minh M là trục tâm của tam giác ANB. Chứng minh gsoc ANC = 90 độ

a)

Xét $\Delta ACE$ có $CD$ vừa là đường cao, đường trung tuyến

Nên $\Delta ACE$ cân tại $C$

Lại có $\widehat{CAE}=45{}^\circ $ (vì $ABCD$ là hình vuông)

Vậy $\Delta ACE$ vuông cân tại $C$

b)

Xét $\Delta AHE$, ta có:

$M$ là trung điểm của $AH\left( gt \right)$

$N$ là trung điểm của $HE\left( gt \right)$

Nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta AHE$

Do đó $MN//AE$ và $MN=\dfrac{1}{2}AE$

$\Rightarrow MN//AD$ và $MN=AD$

$\Rightarrow MN//BC$ và $MN=BC$

$\Rightarrow BMNC$ là hình bình hành

c)

Ta có $MN//BC\left( cmt \right)$

Mà $BC\bot AB\left( gt \right)$

Do đó $MN\bot AB$

Xét $\Delta ANB$ có hai đường cao $NM,AH$ cắt nhau tại $M$

Nên $M$ là trực tâm của $\Delta ANB$

Do đó $BM\bot AN$

Mà $BM//NC$ (vì $BMNC$ là hình bình hành)

Nên $AN\bot NC$

Vậy $\widehat{ANC}=90{}^\circ $