Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua điểm M thuộc đường tròn (M khác A và B) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt các tiếp tuyến tại Ab và B với đường tròn lần lượt tại C và D. a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD và góc COD = 900 b) Tính tích AC.BD theo R. c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng MN vuông góc với AB d) MN cắt AB tại K. Cho biết tan góc ABC = ¼. Tính độ dài đoạn thẳng BK theo R mình cần câu c d ạ mình cần trc 4 h30

Giải thích các bước giải:

a, AC và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C, BD và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = MC; BD = MD; $\widehat{AOC}$ = $\widehat{MOC}$; $\widehat{BOD}$ = $\widehat{MOD}$

⇒ AC + BD = MC + MD = CD (đpcm)

và $\widehat{COD}$ = $\widehat{MOC}$ + $\widehat{MOD}$ = $\frac{1}{2}$($\widehat{AOC}$ + $\widehat{MOC}$ + $\widehat{BOD}$ + $\widehat{MOD}$)

= $\frac{1}{2}$.$180^{o}$ = $90^{o}$ (đpcm)

b, ΔCOD vuông ở O có OM là đường cao

⇒ $OM^{2}$ = $R^{2}$ = MC.MD = AC.BD (đpcm)

c, Ta có:

AC ⊥ AB; DB ⊥ AB ⇒ AC ║ DB

⇒ $\frac{CN}{BN}$ = $\frac{AC}{BD}$ 

Mà AC = CM và BD = DM 

⇒ $\frac{CN}{BN}$ = $\frac{CM}{DM}$ ⇒ MN ║ BD (hệ quả của định lí Thalet)

mà BD ⊥ AB ⇒ MN ⊥ AB (đpcm)

d, tan$\widehat{ABC}$ = $\frac{1}{4}$

⇒ NK = $\frac{1}{4}$.BK = $\frac{1}{4}$.(R + OK) (1)

MK ║ AC ⇒ $\frac{MN}{AC}$ = $\frac{DN}{AD}$ = $\frac{CN}{BN}$ = $\frac{BK}{AB}$ = $\frac{NK}{AC}$

⇒ MN = NK ⇒ N là trung điểm của MK

⇒ NK = $\frac{1}{2}$MK = $\frac{1}{2}$$\sqrt[]{OM^{2}-OK^{2}}$ = $\frac{1}{2}$$\sqrt[]{R^{2}-OK^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{4}$.(R + OK) = $\frac{1}{2}$$\sqrt[]{R^{2}-OK^{2}}$

⇒ OK = $\frac{3}{5}$R ⇒ BK = OK + R = $\frac{8}{5}$R