cho hàm số y=x^3- 3mx^2+3(m^2-1)x-m^3+m . tìm m để hs có 2 điểm cực trị x1,x2 thoả x1^2+x2^2-x1x2=7

Đáp án:

$m = \pm 2$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 -1)x - m^3 + m$

$TXD: D =\Bbb R$

$y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 -1)$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow (3m)^2 - 9(m^2 -1) > 0$

$\Leftrightarrow 9 > 0$ (luôn đúng)

$\to $ Hàm số luôn có cực trị

Hàm số có 2 điểm cực trị $x_1;x_2$ là nghiệm của $y' = 0$

Áp dụng định lý Vi-ét ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m\\x_1x_2 = m^2 -1\end{cases}$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$

$\Leftrightarrow (2m)^2 - 3(m^2 - 1) = 7$

$\Leftrightarrow m^2 + 3 = 7$

$\Leftrightarrow m^2 = 4$

$\Leftrightarrow m = \pm 2$