Cho các số thực thỏa mãn $x^{2}$ + $y^{2}$ - xy=4. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P= $x^{2}$ + $y^{2}$

Đáp án: $ \dfrac83\le x^2+y^2\le 4$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$x^2+y^2-xy=4$

$\to x^2+y^2=4+xy$

$\to x^2+y^2\le 4+\dfrac12(x^2+y^2)$

$\to \dfrac12(x^2+y^2)\le 4$

$\to x^2+y^2\le 4$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\pm2$

Lại có:

$(x+y)^2\ge 0$

$\to x^2+y^2+2xy\ge 0$

$\to xy\ge -\dfrac{x^2+y^2}{2}$

$\to x^2+y^2=4+xy\ge 4-\dfrac{x^2+y^2}{2}\to x^2+y^2\ge \dfrac83$

Dấu = xảy ra khi $x=-y=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$