tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 và 2p+5 đều là các số nguyên tố

Đáp án: $p=3$

Giải thích các bước giải:

Trường hợp $1: p=2$

$\to 2p+1=2\cdot 2+1=5$ là số nguyên tố

      $2p+5=2\cdot 2+5=9$ không là số nguyên tố

$\to p=2$ (loại)

Trường hợp $2: p=3$

$\to 2p+1=2\cdot 3+1=7$ là số nguyên tố

      $2p+5=2\cdot 3+5=11$ là số nguyên tố

$\to p=3$ (chọn)

Trường hợp $3:p>3$

$\to p$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$
Nếu $p$ chia $3$ dư $1\to p=3k+1, k\in N^*$

$\to 2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\quad\vdots\quad 3$

Mà $2p+1>3\to 2p+1$ là hợp số

$\to p=3k+1$ (loại)

Nếu $p$ chia $3$ dư $2\to p=3k+2, k\in N^*$

$\to 2p+5=2(3k+2)+5=6k+9=3(2k+3)\quad\vdots\quad 3$

Mà $2p+5>3\to 2p+5$ là hợp số

$\to p=3k+2$ (loại)

$\Rightarrow p>3$ loại