Đáp án: $m \ge \frac{{6\sqrt 2  + 1}}{2}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
\sqrt {7 - x}  + \sqrt {x + 11}  = t \ge 0\\
 \Rightarrow 7 - x + x + 11 + 2\sqrt {\left( {7 - x} \right)\left( {x + 11} \right)}  = {t^2}\\
 \Rightarrow 2\sqrt {\left( {7 - x} \right)\left( {x + 11} \right)}  = {t^2} - 18\left( {{t^2} \ge 18 \Rightarrow t \ge 3\sqrt 2 } \right)\\
 \Rightarrow \sqrt {\left( {7 - x} \right)\left( {x + 11} \right)}  = \frac{{{t^2} - 18}}{2}\\
pt \Rightarrow t + \frac{{{t^2} - 18}}{2} = m\\
 \Rightarrow {t^2} + 2t - 18 - 2m = 0
\end{array}$

Phương trình có nghiệm duy nhất thì phải thoẳ mãn pt trên:

+ Có nghiệm duy nhất thỏa mãn $t \ge 3\sqrt 2 $

+ Có 2 nghiệm phân biệt: ${t_1} < 3\sqrt 2  \le {t_2}$

TH1: 

$\begin{array}{l}
\Delta ' = 0 \Rightarrow 1 + 18 + 2m = 0 \Rightarrow  - 18 - 2m = 1\\
pt \Rightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0 \Rightarrow t =  - 1\left( {ktm} \right)
\end{array}$

TH2:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{t_1} < 3\sqrt 2  \le {t_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + 18 + 2m > 0\\
\left( {{t_1} - 3\sqrt 2 } \right)\left( {{t_2} - 3\sqrt 2 } \right) \le 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge \frac{{ - 19}}{2}\\
{t_1}{t_2} - 3\sqrt 2 \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 18 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge  - \frac{{19}}{2}\\
 - 18 - 2m - 3\sqrt 2 .\left( { - 2} \right) + 19 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge  - \frac{{19}}{2}\\
m \ge \frac{{6\sqrt 2  + 1}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow m \ge \frac{{6\sqrt 2  + 1}}{2}
\end{array}$