chứng minh rằng nếu a,b là các số nguyên thỏa mãn a^2+11ab+b^2 chia hết cho 13 thì a^2 - b^2 chia hết cho 13

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

${a^2} + 11ab + {b^2} = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 13ab = {\left( {a - b} \right)^2} + 13ab$

Như vậy: Do $a,b\in Z$ nên $\left( {{a^2} + 11ab + {b^2}} \right) \vdots 13 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \vdots 13$

Mà $13$ là số nguyên tố nên ${\left( {a - b} \right)^2} \vdots 13 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right) \vdots 13$

Khi đó:

${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \vdots 13\left( {Do:a,b \in Z;\left( {a - b} \right) \vdots 13} \right)$

Ta có đpcm.