Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. a) Chứng minh rằng: ABD = AED b) Hai tia AB và ED cắt nhau tại F. Chứng minh ∆DBF = ∆DEC c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng FC. Chứng minh: A, D, N thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a)

Xét ΔABD và ΔAED có:

AB=AE (giả thiết)

Góc BAD= góc EAD (do AD là phân giác góc A)

AD chung

$\Rightarrow $ ΔABD=ΔAED (c-g-c)

b) Ta có ΔABD=ΔAED

$\Rightarrow$ BD=DE và góc ABD= góc AED

$\Rightarrow$ Góc FBD= góc CED (hai góc kề bù với hai góc bằng nhau)

Xét ΔDBF và ΔDEC có:

BD=DE

Góc DBF= góc DEC

Góc BDF= góc EDC ( đối đỉnh )

$\Rightarrow$ ΔDBF=ΔDEC (g-c-g)

c) Ta có AB=AE; BF=EC

$\Rightarrow$ AB+BF=AE+EC

$\Rightarrow$ AF=AC

$\Rightarrow$ Tam giác AFC cân tại A

$\Rightarrow$ AD là phân giác đồng thời là đường cao 

$\Rightarrow$ AD⊥FC (1)

Ta có ΔDBF=ΔDEC

$\Rightarrow$ DF=DC

$\Rightarrow$ Tam giác DFC cân tại D

 Mà N là trung điểm của FC

$\Rightarrow$ DN là trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$ DN⊥FC (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow$ A; D; N thẳng hàng (đpcm)