cho tam giác ABC cân tại A đường trung tuyến CD . Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK=BA . Chứng minh CD =1/2 CK

Từ $B$ kẻ $BE//AC\,(E\in CK)$

Ta có: $AB = BK\quad (gt)$

$\Rightarrow CE = EK$

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=DC$

$\Rightarrow BCAF$ là hình bình hành

$\Rightarrow BF //AC$

mà $BE//AC$ (cách dựng)

nên $F,B,E$ thẳng hàng

$\Rightarrow FE$ là trung tuyến ứng với cạnh $CK\quad (CE = EK)$

Ta lại có: $KD$ là trung tuyến ứng với cạnh $FC\quad (CD = DF)$

$\Rightarrow B$ là trọng tâm $∆CFK$

$CB$ cắt $FK$ tại $H$

$\Rightarrow FH = HK$ $(1)$

Mặt khác:

$FB=AC$ ($BCAF$ là hình bình hành)

$AB = AC\quad (gt)$

$AB = BK\quad (gt)$

$\Rightarrow FB = AB = BK$

$\Rightarrow AFK$ vuông tại $F$

$\Rightarrow AF\perp FK$

mà $AF//CB$ ($BCAF$ là hình bình hành)

nên $CB\perp FK$

hay $CH\perp FK$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow ∆CFK$ cân tại $C$

$\Rightarrow CF = CK$

Ta lại có: $CD = DF = \dfrac{1}{2}CF$

$\Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}CK$