CHỨNG MINH CÔNG THỨC S= CĂN P.(P-A)(P-B)(P-C) ĐÂY LÀ CÔNG THỨC HÊ RÔNG KO DÙNG ĐƯỜNG TRÒN HÃY CM NÓ

Giải thích các bước giải:

Gọi $a,b,c$ lần lượt là $3$ cạnh của tam giác và $A, B, C$ lần lượt là các góc đối diện của cạnh.

$\to p=\dfrac{a+b+c}2$

Ta có:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (Định lý cos)

$\to \cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\to \sin^2C=1-\cos^2C=\dfrac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)}{4a^2b^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)}{(2ab)^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}{(2ab)^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(2ab-(a^2+b^2)+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{(2ab)^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(c^2-(a^2-2ab+b^2))(a^2+2ab+b^2-c^2)}{(2ab)^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)}{(2ab)^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(c-(a-b))(c+(a-b))(a+b-c)(a+b+c)}{(2ab)^2}$

$\to \sin^2C=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{(2ab)^2}$

$\to (2ab)^2\sin^2C=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$

$\to (2ab\sin C)^2=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$

$\to (2ab\sin C)^2=16\cdot \dfrac{c-a+b}2\cdot \dfrac{c+a-b}2\cdot\dfrac{a+b-c}2\cdot\dfrac{a+b+c}2$

$\to (2ab\sin C)^2=16\cdot (\dfrac{a+b+c}2-a)\cdot (\dfrac{a+b+c}2-b)\cdot(\dfrac{a+b+c}2-c)\cdot\dfrac{a+b+c}2$

$\to (2ab\sin C)^2=16\cdot (p-a)(p-b)(p-c)p$

$\to 4(ab\sin C)^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)$

$\to (ab\sin C)2=4p(p-a)(p-b)(p-c)$

$\to ab\sin C=\sqrt{4p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\to ab\sin C=2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\to \dfrac12ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\to S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ vì $S=\dfrac12ab\sin C$

$\to đpcm$