Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB, đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp; b) Góc AQI = ACO; c) CN = NH Giúp mình , vote 5 sao cho

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a)Ta có: $\widehat{AQB}=90^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$⇒\widehat{MQA}=90^o$(kề bù$ \widehat{AQB}$) (1)

Xét $ΔMAO$ và $ΔMCO$,có:

$OA=OC$

$OM$ chung

$⇒ΔMAO=ΔMCO$

$⇒\widehat{AOM}=\widehat{COM}$

$⇒OM$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}$

Mà $ΔAOC$ cân

$⇒OM⊥AC$

$⇒\widehat{MIA}=90^o$ (2)

Từ (1) và (2)⇒$\widehat{MIA}=\widehat{MQA}$ cùng nhìn cung MA 1 góc $90^o$

$⇒M,Q,I,A$ cùng thuộc 1 đường tròn $R=\dfrac{MA}{2}$

b)$\widehat{AQI}=\widehat{AMI}$ (3)

$\widehat{ACO}+\widehat{ACM}=90^o$

Mà $ΔAMC$ cân tại M

$⇒\widehat{ACO}+\widehat{MAC}=90^o$

Mà $\widehat{MAC}+\widehat{AMI}$

⇒$\widehat{ACO}=\widehat{AMI}$ (4)

Từ (3) và (4)⇒$\widehat{AQI}=\widehat{ACO}$

c)

BC cắt AM tại K.

Ta có:

$\widehat{KAC}=\widehat{MCA}$ ($ΔAMC cân$)

Mà $\widehat{KAC}+\widehat{AKC}=90^o$ (ΔAKC vuông tại C)

$⇒\widehat{MCA}+\widehat{AKC}=90^o$

Mà $\widehat{MCA}+\widehat{MCK}=90^o$

$⇒\widehat{AKC}=\widehat{MCK}$

$⇒ΔMKC$ cân tại M

$⇒MC=MK$

Mà $MC=MA$(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$⇒MK=MA$

Ta có: HN // MA (cùng vuông góc AB)

$⇒\dfrac{HN}{MA}=\dfrac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) (*)

Ta có: CN // MK ( C thuộc tia HN, K thuộc tia AM)

$⇒\dfrac{CN}{MK}=\dfrac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) (**)

Từ (*) và (**) và $MA=MK$

$⇒CN=HN$