gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 -2(m+1)x+m2+2=0 ( m là tham số ). Tìm m để biểu thức P=x1x2 - 2(x1+x2)-6 đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

m=2 thì $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là -12.

Giải thích các bước giải:

\({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + 2 = 0\)

Để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $\Delta'\ge0$

$\Leftrightarrow (m+1)^2-m^2-2\ge0$

$\Leftrightarrow 2m-1\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac12$

Theo Vi-et ta có: 

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} = {m^2} + 2\\
{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow P = {m^2} + 2 - 2.2(m + 1) - 6\\
 = {m^2} - 4m - 8\\
 = {(m - 2)^2} - 12\\
{(m - 2)^2} \ge 0 \Rightarrow P \ge  - 12
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔m=2 (thỏa mãn).

Vậy $m=2$ thì $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là -12.