Tính tỉ số lượng giác của góc 22,5 độ

Đáp án:

$\begin{cases}\sin22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}\\\cos22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 +\sqrt2}}{2}\\\tan22,5^o= \sqrt2 - 1\\\cot22,5^o= \sqrt2 + 1\end{cases}$

Giải thích các bước giải:

Dựng $∆ABC$ vuông cân tại $A$ có độ dài $AB = AC = 1 \Rightarrow BC = \sqrt2$

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 45^o$

Tia phân giác trong của $\widehat{B}$ cắt $AC$ tại $D$

$\widehat{ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC} = 22,5^o$

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{AC-AD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{AD}{1 - AD}$

$\Leftrightarrow AD = \sqrt2 - 1$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1 + 3 - 2\sqrt2 = 4 - 2\sqrt2$

$\Rightarrow BD = \sqrt{4 - 2\sqrt2}$

Ta được:

$\begin{cases}\sin\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{\sqrt2 - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt2}}= \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}\\\cos\widehat{ABD} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt2}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}\\\tan\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{AB} = \sqrt2 - 1\\\cot\widehat{ABD} = \dfrac{1}{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 + 1\end{cases}$

Vậy $\begin{cases}\sin22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}\\\cos22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 +\sqrt2}}{2}\\\tan22,5^o= \sqrt2 - 1\\\cot22,5^o= \sqrt2 + 1\end{cases}$