Biện luận theo m, số nghiệm của pt x^3-3x^2-m=0

Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}m <  - 4\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm duy nhất.

\(\left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\( - 4 < m < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Giải thích các bước giải:

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow m = {x^3} - 3{x^2} = f\left( x \right)\).

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

BBT: (hình vẽ)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Dựa vào BBT ta thấy:

\(\left[ \begin{array}{l}m <  - 4\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm duy nhất.

\(\left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\( - 4 < m < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.