tìm m để phương trình 9^x -2(2m+1)3^x + 3(4m-1)=0 có 2 nghiệm thực thỏa mãn (x1+2)(x2+2)=12

Đáp án:

\(m = \dfrac{5}{2}\).  

Giải thích các bước giải:

\({9^x} - 2\left( {2m + 1} \right){3^x} + 3\left( {4m - 1} \right) = 0\)

Đặt \(t = {3^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành

\({t^2} - 2\left( {2m + 1} \right)t + 3\left( {4m - 1} \right) = 0\)  (*)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\2\left( {2m + 1} \right) > 0\\3\left( {4m - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m + 1} \right)^2} - 3\left( {4m - 1} \right) \ge 0\\m >  - \dfrac{1}{2}\\m > \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 8m + 4 \ge 0\\m > \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\left( {\text{luôn đúng}} \right)\\m > \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \end{array}\)

$\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4}$

Phương trình có 2 nghiệm

\(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 2m + 1 + 2\left( {m - 1} \right) = 4m - 1\\{t_2} = 2m + 1 - 2\left( {m - 1} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {\log _3}\left( {4m - 1} \right)\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}\left( {4m - 1} \right) + 2} \right].3 = 12\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4m - 1} \right) + 2 = 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4m - 1} \right) = 2\\ \Leftrightarrow 4m - 1 = 9\\ \Leftrightarrow 4m = 10\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{5}{2}\).