Câu 1: Phương trình sin5x - sinx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ -2018pi ; 2018pi ] Câu 2: Số nghiệm của phương trình cot ( 2x + pi/4 ) - 1 = 0 thuộc đoạn [ pi ; 2pi ] Câu 3: giải phương trình cot x/2 . cosx - sin2x = 0

Đáp án: `1,` Có `16145` nghiệm

`2,` Có `3` nghiệm

`3,` $x\in\{\dfrac73\pi+k4\pi, \dfrac{11}{3}\pi+4k\pi, \dfrac13\pi+k4\pi, \dfrac53\pi+4k\pi,\pi+k2\pi, \dfrac12\pi+k\pi \}\setminus\{k2\pi\}$

Giải thích các bước giải:

Câu `1:`
Ta có:
$\sin5x-\sin x=0$
$\to \sin5x=\sin x$
$\to 5x=x+k2\pi$ hoặc $5x=\pi-x+q2\pi$
$\to 4x=k2\pi$ hoặc $6x=\pi+q2\pi, (k, q\in Z)$
$\to x=\dfrac12k\pi$ hoặc $x=\dfrac16\pi+\dfrac13q\pi$

Số nghiệm $x_1=\dfrac12k\pi$ thuộc $[-2018\pi, 2018\pi]$ là:
$-2018\pi\le \dfrac12k\pi\le 2018\pi$
$\to -4036\le k\le 4036$
$\to$Có $8073$ nghiệm
Số nghiệm $x_2=\dfrac16\pi+\dfrac13q\pi$ thuộc đoạn $[-2018\pi, 2018\pi]$ là:
$-2018\pi\le \dfrac16\pi+\dfrac13q\pi\le 2018\pi$
$\to -6054\le q\le 6053$
$\to$Có $12108$

Nếu $x_1=x_2\to \dfrac12k\pi=\dfrac16\pi+\dfrac13q\pi$

$\to 3k=2q+1$

$\to k$ lẻ

$\to k=2m+1, m\in Z$

$\to 3(2m+1)=2q+1\to q=3m+1$ $\to x_3=\dfrac16\pi+\dfrac13(3m+1)\pi$ là $2$ nghiệm trùng nhau

$\to$Số nghiệm trùng nhau trong đoạn $[-2018\pi,2018\pi]$ là:

$-2018\pi\le \dfrac16\pi+\dfrac13(3m+1)\pi\le 2018\pi$

$\to -2018\le m\le 2017$

$\to$Số nghiệm trùng nhau là $4036$

$\to$Số nghiệm của phương trình $\sin5x-\sin x=0$ trong đoạn $[-2018\pi, 2018\pi]$ là:

$$8073+12108-4036=16145$$
Câu `2:`
ĐKXĐ: $x\notin\{-\dfrac{\pi}{8}+k\pi, \dfrac38\pi+k\pi\}$
Ta có: 
$\cot(2x+\dfrac{\pi}{4})-1=0$
$\to \cot(2x+\dfrac{\pi}{4})=1$
$\to2x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$
$\to x=\dfrac12k\pi$
$\to$Số nghiệm của phương trình trong đoạn $[\pi, 2\pi]$ là:
$\pi\le \dfrac12k\pi\le 2\pi$
$\to 2\le k\le 4$
$\to $Có $3$ nghiệm thỏa mãn đề

Câu `3:`

ĐKXĐ: $x\ne k2\pi$

Ta có:
$\cot(\dfrac{x}{2})\cdot \cos x-\sin2x=0$
$\to \cot(\dfrac{x}{2})\cdot \cos x-2\sin x\cos x=0$
$\to \cos x(\cot(\dfrac{x}{2})-2\sin x)=0$
$\to \cos x=0(1)$
Hoặc $\cot(\dfrac{x}{2})-2\sin x=0(2)$
Giải $(1)$ có:
$\cos x=0\to x=\dfrac12\pi+k\pi$
Giải $(2)$ có:
$\cot(\dfrac{x}{2})-2\sin x=0$
$\to \dfrac{\cos(\dfrac{x}{2})}{\sin(\dfrac{x}{2})}-2\sin x=0$
$\to \dfrac{\cos(\dfrac{x}{2})}{\sin(\dfrac{x}{2})}-2\sin x=0$
$\to \cos(\dfrac{x}{2})-2\sin x\cdot \sin(\dfrac{x}{2})=0$

$\to \cos(\dfrac{x}{2})-2\cdot 2\sin(\dfrac{x}{2})\cos(\dfrac{x}{2})\cdot \sin(\dfrac{x}{2})=0$

$\to \cos(\dfrac{x}{2})-4\sin^2(\dfrac{x}{2})\cos(\dfrac{x}{2})=0$

$\to \cos(\dfrac{x}{2})(1-4\sin^2(\dfrac{x}{2}))=0$

$\to \cos(\dfrac{x}{2})=0$

$\to \dfrac{x}{2}=\dfrac12\pi+k\pi$

$\to x=\pi+k2\pi$

Hoặc $1-4\sin^2(\dfrac{x}{2})=0$

$\to \sin^2(\dfrac{x}{2})=\dfrac14$

$\to \sin(\dfrac{x}{2})=\pm\dfrac12$

$\to \sin(\dfrac{x}{2})=\dfrac12$

$\to \dfrac{x}{2}=\dfrac16\pi+k2\pi$ hoặc $\dfrac{x}{2}=\dfrac56\pi+k2\pi$

$\to x=\dfrac13\pi+k4\pi$ hoặc $x=\dfrac53\pi+4k\pi$

Giải $ \sin(\dfrac{x}{2})=-\dfrac12$

$\to \dfrac{x}{2}=\dfrac76\pi+k2\pi$ hoặc $\dfrac{x}{2}=\dfrac{11}6\pi+k2\pi$

$\to x=\dfrac73\pi+k4\pi$ hoặc $x=\dfrac{11}{3}\pi+4k\pi$

Vậy $x\in\{\dfrac73\pi+k4\pi, \dfrac{11}{3}\pi+4k\pi, \dfrac13\pi+k4\pi, \dfrac53\pi+4k\pi,\pi+k2\pi, \dfrac12\pi+k\pi \}\setminus\{k2\pi\}$