tìm nghiệm nguyên của phương trình x^4+y^4+z^4=2012 Giúp mình với

Đáp án:

Phương trình vô nghiệm

Giải thích các bước giải:

$x^4 + y^4 + z^4 = 2012$ $(*)$

- Giả sử $x,\,y$ lẻ

$\Rightarrow z$ chẵn

$\Rightarrow x^4 + y^4 + z^4 \equiv 2\pmod 4$

mà $2012 \equiv 0 \pmod 4$

$\Rightarrow$ Giả định ban đầu sai

$\Rightarrow$ hoặc $x$ hoặc $y$ chẵn

- Giả sử $x$ chẵn

$\Rightarrow y^4 + z^4 \,\,\vdots \,\,4$

$\Rightarrow y, \, z$ đều chẵn

- Đặt $x = 2x_1, \, y = 2y_2, \, z = 2z_1$ $(x_1,\,y_1,\,z_1 \in \Bbb Z)$

$(*) \Leftrightarrow 16x_1^4 + 16y_1^4 + 16z_1^4 = 2012$

$\Leftrightarrow 4(x_1^4 + y_1^4 + z_1^4) = 503$ (vô lý)

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm