cho hình chóp S.ABCD,G,H là trọng tâm tam giác SAB và SCD.tìm giao tuyến a,(SGH) ∩(ABCD) b,(SGH) ∩(SBD) c,(BHG) ∩(SAC) d,(BHG) ∩(SAD)

a) Trong (SAB), gọi E là trung điểm của AB.

Trong (SCD) gọi F là trung điểm CD.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {ABCD} \right)\\E \in SG \subset \left( {SGH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SGH} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\) ‘

Tương tự \(F \in \left( {SGH} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)

Do đó \(EF = \left( {SGH} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)

b) Trong (ABCD), gọi K là giao điểm của EF và BD.

Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}K \in EF \subset \left( {SGH} \right)\\K \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {SGH} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

Mà \(S \in \left( {SGH} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

Do đó \(SK = \left( {SGH} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

c) Gọi M là trung điểm của SA. Dễ thấy

\(\left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {BGH} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {BGH} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Trong (ABCD), gọi I là giao điểm của AB và EF.

Trong mp(SEF), gọi J là giao điểm của GH và SI.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {SEF} \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SEF} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SEF} \right) = SI\).

Xét các mặt phẳng (SEF), (BGH), (SAC) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SEF} \right) \cap \left( {BGH} \right) = GH\\\left( {SEF} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI\\\left( {BGH} \right) \cap \left( {SAC} \right) = Mx\\GH \cap SI = J\end{array} \right. \Rightarrow J \in Mx\)

Do đó, giao tuyến của (SAC) và (BGH) là MJ.

d) Trong (SAC), kéo dài MJ cắt SC tại L.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}L \in SC \subset \left( {SDC} \right)\\L \in MJ \subset \left( {BGH} \right)\end{array} \right.\)

Trong \(\left( {SDC} \right)\), kẻ LH cắt \(SD\) tại N.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}N \in LH \subset \left( {BGH} \right)\\N \in SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {BGH} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAD} \right)\\M \in BG \subset \left( {BGH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {BGH} \right)\)

Vậy \(\left( {BGH} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MN\)