đặt Sn=$\frac{1}{1.3}$+$\frac{1}{3.5}$+....+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ ,n ∈ $N^{*}$ .Rút gọn biểu thức Sn

Đáp án:${S_n} = \frac{n}{{2n + 1}}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
{S_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\
 \Rightarrow 2{S_n} = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + ... + \frac{2}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\
 = \frac{{3 - 1}}{{1.3}} + \frac{{5 - 3}}{{3.5}} + ... + \frac{{\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)}}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\
 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}\\
 = 1 - \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\\
 \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{2}.\frac{{2n}}{{2n + 1}} = \frac{n}{{2n + 1}}
\end{array}$