chứng minh có vô số số nguyên tố dạng 4k+3, k ∈N

Giả sử phản chứng rằng có hữu hạn số nguyên tố có dạng $4k + 3$ là

$4k_1 + 3, 4k_2 + 3,\dots, 4k_n + 3$

Ta sẽ chứng minh số nguyên tố

$p = 4(4k_1 + 3)(4k_2 + 3) \dots (4k_n + 3) + 3$

$= 4m + 3$

là một số nguyên tố.

Do $4k + 3 \geq 3$ với mọi số $k$, suy ra ta thấy $p > m$.

Hơn nữa, $p$ ko chia hết cho các số nguyên tố $4k_1 + 3, \dots, 4k_n + 3$, cụ thể khi $p$ chia cho các số nguyên tố $4k_1 + 3,\dots, 4k_n + 3$ sẽ dư $3$.

Vậy $p$ là số nguyên tố. (mâu thuẫn với giả thiết)

Hơn nữa, $p$ cũng có dạng là $4k + 3$.

Vậy phải có vô số nguyên tố dạng $4k + 3$.