Chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi vecto GA+vecto GB +vectơ GC = vetơ 0

Giải thích các bước giải:

Gọi $D,E,F$ là trung điểm $BC,AC,AB$

Chứng minh: $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$

Ta có:

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}$

$=\vec{GA}+(\vec{GB}+\vec{GC})$

$=\vec{GA}+2\vec{GD}$ vì $D$ là trung điểm $BC$

Mà $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to GA=2GD\to \vec{GA}=-2\vec{GD}\to \vec{GA}+2\vec{GD}=0$

$\to \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$

Chứng minh: $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0\to $$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Ta có:

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$

$\to \vec{GA}+(\vec{GB}+\vec{GC})=0$

$\to \vec{GA}+2\vec{GD}=0$ vì $D$ là trung điểm $BC$

$\to \vec{GA}=-2\vec{GD}$

$\to A,G,D$ thẳng hàng, $G$ nằm giữa $A,D, GA=2GD$

Mà $AD$ là trung tuyến $\Delta ABC$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to đpcm$