cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi I là trung điểm BC. Qua I vẽ IM vuông góc AB tại M và IN vuông góc AC tại N. câu a): Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? câu b): Gọi D là điểm đối xứng I qua N. Chứng minh ADCL là hình thoi câu c): đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh DK / DC = 1 phần 3

Giải thích các bước giải:

a. Vì $\Delta ABC\bot A$ nên $\widehat {BAC} = {90^ \circ }$ hay $\widehat {MAN} = {90^ \circ }$

Lại có:

$\eqalign{
  & IM \bot AB,IN \bot AC  \cr 
  &  \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {ANI} = {90^ \circ } \cr} $

Tứ giác $AMIN$ có 3 góc vuông nên $AMIN$ là hình chữ nhật.

b. Tứ giác $ADCI$ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Suy ra $ADCI$ là hình bình hành (1)

Mà $ID \bot AC$ ($IN \bot AC$) (2)

Từ (1) và (2) 

$⇒ ADCI$ là hình thoi.

c. Gọi giao điểm của $BN$ và $AI$ là $H$

Ta có: $NI//AB$ (cùng vuông góc với $AC$), $I$ là trung điểm của $BC$

Suy ra: $NI$ là đường trung bình thuộc cạnh $AB$ của tam giác $ABC$

$ \Rightarrow NI = {1 \over 2}AB$

Do $IN//AB$ nên áp dụng định lí Ta-let ta có: 

${{HI} \over {AH}} = {{NI} \over {AB}} = {1 \over 2}$

Theo câu b tứ giác $ADCI$ là hình thoi

$ \Rightarrow {{DK} \over {KC}} = {{IH} \over {AH}} = {1 \over 2} \Leftrightarrow {{DK} \over {DC}} = {1 \over 3}$