cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD, Góc giữa SB và mặt phẳng đáy ABCD là 45 độ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a.

Đáp án:

$d(BH;SD) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow ABMH$ là hình vuông

$\Rightarrow AM=BH = AB\sqrt2 = a\sqrt2$

Ta có:

$SH\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBH} = 45^o$

mà $\tan\widehat{SBH} = \dfrac{SH}{BH}$

nên $SH = BH.\tan45^o = BH = a\sqrt2$

Mặt khác ta cũng có: $MCDH$ là hình vuông

$\Rightarrow MD = CH = CD\sqrt2 = a\sqrt2$

Gọi $O = CH\cap MD$

$\Rightarrow OH = OC= OD = OM = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta có:

$BH//DM$

$\Rightarrow BH//(SDM)$

$\Rightarrow d(BH;SD) = d(BH;(SDM)) = d(H;(SDM))$

Do $SH\perp (ABCD)$

$HD=HM = a$

$\Rightarrow SM = SD$

$\Rightarrow SO\perp DM$

mà $HO\perp DM$

$\Rightarrow DM\perp (SHO)$

Từ $H$ kẻ $HK\perp SO$

$\Rightarrow DM\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SDM)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SDM))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HO^2}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{SH.HO}{\sqrt{SH^2 + HO^2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

Vậy $d(BH;SD) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$