202
94
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
6067
5246
Bài 9 :
Ta có : $a+b+c=0$
$\to c = -a-b$
Khi đó có : $ab+2bc+3ca$
$ = ab+2b.(-a-b) + 3.(-a-b).a$
$ = ab-2ab-2b^2 -3a^2-3ab$
$ =-2b^2-3a^2-4ab$
$ = -2.(a^2-2ab+b^2) - a^2$
$ = -2.(a-b)^2-a^2 ≤ 0 $ ( Luôn đúng )
Dấu "=" xảy r =a $⇔a=b=c=0$
$ = -2
Bài 11 :
Trước hết ta đi chứng minh BĐT phụ sau :
$x^3+y^3 ≥ xy.(x+y)$
Thật vậy, BĐT trên tương đương :
$x^3-x^2y+y^3-xy^2 ≥ 0 $
$⇔x^2.(x-y)-y^2.(x-y) ≥ 0 $
$⇔(x-y)^2.(x+y) ≥ 0$ ( Đúng )
Dấu "=" xảy ra $⇔x=y$
Áp dụng vào bài toán ta có :
$\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ca}$
$≥ \dfrac{ab.(a+b)}{ab}+\dfrac{bc.(b+c)}{bc}+\dfrac{ca.(c+a)}{ca}$
$ = 2.(a+b+c)$
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$
Vậy BĐT hoàn tất !
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bài 9:
Theo giả thiết $c=-a-b$ nên BĐT đã cho tương đương với $ab+c(2b+3a)$ $\leq0$
⇔ $ab-2ab-3a^2-2b^2-3ab$ $\geq0$ ⇔ $3a^2+4ab+2b^2$ $\geq0$
⇔ $a^2+2(a+b)^2$ $\geq0$
Từ đó suy ra đpcm. Dấu BĐT xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$
Bài 11:
Ta cm BĐT $x^3+y^3$ $\geq xy(x+y)$ với x, y là các số dương
⇒ $x^3+y^3$ $\geq xy(x+y)$⇔ $(x+y)(x^3+y^3-xy)$ $\geq xy(x+y)$ ⇔ $(x+y)^2 $$\geq 0$
Áp dụng BĐT trên ta được:
$\frac{a^3+b^3}{ab}+$ $\frac{b^3+c^3}{bc}+$$\frac{c^3+a^3}{ca}$ $\geq$ $\frac{ab(a+b)}{ab}+$ $\frac{bc(b+c)}{bc}+$ $\frac{ca(c+a)}{ca}=2(a+b+c)$
⇒ $\frac{a^3+b^3}{ab}+$ $\frac{b^3+c^3}{bc}+$$\frac{c^3+a^3}{ca}$ $\geq$ $2(a+b+c)$
Từ đó suy ra đpcm. Đẳng thức thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin