Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y= sinx + cosx + 2sinxcosx - 1

Ta có

$y = \sin x + \cos x + 2\sin x \cos x -1$

$= \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + (1 + 2\sin x \cos x) -2$

$= \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + (\sin x + \cos x)^2 - 2$

$= 2\sin^2\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) - 2$

Đặt $t = \sqrt{2}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right)$, khi đó $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Ta cần tìm GTLN và GTNN của hso

$y = t^2 + t - 2$

trên đoạn $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Đỉnh của parabol này là $\left( -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4} \right)$

Ta có

$y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, y(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Ta có $-\dfrac{9}{4} < -\sqrt{2}$.

Vậy GTNN của hso là $-\dfrac{9}{4}$ đạt đc tại

$t = -\dfrac{1}{2}$

$<-> \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -\dfrac{1}{2}$

$<-> \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$<->x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi - \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi

$<-> x = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$

và GTLN của hso là $\sqrt{2}$, đạt đc tại

$t = \sqrt{2}$

$<-> \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$

$<-> x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$

$<-> x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.

Vậy GTNN của hso là $-\dfrac{9}{4}$ đạt đc khi $x = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ và GTLN của hso là $\sqrt{2}$ đạt đc khi $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.