Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của góc A và D cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại F. Chứng minh: a) EF song song với AB và CD. b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD

CHO MÌNH CTLHN NHÉ !!!

a)

Vì $AE$ là phân giác góc ngoài của $\widehat A$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$DE$ là phân giác góc ngoài của $\widehat D$ nên $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$

Mà $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=180^o$ (hai góc ở vị trí trong cùng phía)

$\Rightarrow2\widehat{A_2}+2\widehat{D_2}=180^o$

$\Rightarrow\widehat{A_2}+\widehat{D_2}=90^o$

$\Rightarrow\Delta AED:\widehat{AED}=90^o$ (tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác)

$\Rightarrow DE\bot AE$

Gọi $AE\cap DC\equiv M$

$\Delta ADM$ có $DE$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\Delta ADM$ cân đỉnh D

nên DE cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow E$ là trung điểm của AM 

Gọi $BF\cap DC\equiv N$

Chứng minh tương tự có $F$ là trung điểm của BN

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của hình thang $ABNM$

$\Rightarrow EF//AB//CD$

b)

`EF = (AB + MN)/2` (tính chất đường trung bình của hình thang)
`=> EF = (AB + MD + CD + CN)/2`  (1)
Mà MD = AD, CN = BC. Thay vào (1) 
`=> EF = (AB+AD+CD+BF)/2` (đpcm)