Tìm số nguyên tố p sao cho p^2-p+1 là lập phương của một số tự nhiên

Đáp án: $p=19$

Giải thích các bước giải:

Giả sử $p^2-p+1=n^3, n\in N$

$\to p^2-p=n^3-1$

$\to p(p-1)=(n-1)(n^2-n+1)$

$\to p(p-1)\quad\vdots\quad n-1$

Mà $(p,p-1)=1$

$\to p\quad\vdots\quad n-1$ hoặc $p-1\quad\vdots\quad n-1$

Trường hợp $1:p\quad\vdots\quad n-1$

$\to p=k(n-1)$

Mà $p$ là số nguyên tố $\to k=1$ hoặc $n-1=1$

$\to p=n-1$ hoặc $n=2$

Nếu $n=2\to p^2-p=2^3-1=7\to p^2-p-7=0$ vô nghiệm

Nếu $p=n-1\to (n-1)^2-(n-1)+1=n^3\to (n-1)(n^2+3)=0\to n=1\to p=0$ vô lý

Trường hợp $2: p-1\quad\vdots\quad n-1$

$\to p-1=k(n-1)\to n-1, k\ne 0$ vì $p-1\ge 2-1\ne 0$ do $p$ là số nguyên tố

$\to p\cdot k(n-1)=(n-1)(n^2-n+1)$

$\to p\cdot k=(n^2-n+1)$

$\to (k(n-1)+1)\cdot k=n^2-n+1$

$\to n^2+(1-k^2)n+(k^2-k+1)=0(*)$

$\to \Delta =(1-k^2)^2-4\cdot 1\cdot (k^2-k+1)=k^4-6k^2+4k-3$ là số chính phương vì $(*)$ có nghiệm nguyên

Mà $(k^2-3)^2\le k^4-6k^2+4k-3<(k^2-1)^2$

$\to k^4-6k^2+4k-3\in\{(k^2-3)^2, (k^2-2)^2\}$

Nếu $k^4-6k^2+4k-3=(k^2-3)^2$

$\to k^4-6k^2+4k-3=k^4-6k^2+9$
$\to 4k=12$

$\to k=3\to n^2-8n+7=0\to (n-7)(n-1)=0\to n=7\to p=19$

Nếu $k^4-6k^2+4k-3=(k^2-2)^2$

$\to k^4-6k^2+4k-3=k^4-4k^2+4$

$\to -2k^2+4k-7=0$ vô nghiệm